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基于电磁学理论对MPI进行信号分析
1.磁场强度H，磁感应强度B，磁化强度M
- 磁场强度（1A/m）：可以理解为外加磁场的场强，可以是电流产生（电生磁，安倍环路定理），实际定义比较复杂
- 磁化强度（1A/m）：磁场中的介质，受到H的激发，内部会磁化，产生一个附加磁场，也就是磁化强度。磁化强度是描述宏观磁性体磁性强弱程度的物理量。在经典电磁学中，磁化强度(magnetization)或磁性极化( magnetic polarization)是表示磁性物质永久的或者诱发的偶极磁矩的矢量场。通常用符号表示。定义为媒质微小体元ΔV内的全部分子磁矩矢量和与ΔV 之比
- 磁感应强度是指描述磁场强弱和方向的物理量，是矢量，常用符号B表示，国际通用单位为特斯拉（符号为T）。磁感应强度也被称为磁通量密度或磁通密度。在物理学中磁场的强弱使用磁感应强度来表示，磁感应强度越大表示磁感应越强。磁感应强度越小，表示磁感应越弱。
电流（运动电荷）的周围存在磁场，它对外的重要表现是：对引入场中的运动试探电荷、载流导体或永久磁铁有磁场力的作用，因此可用磁场对运动试探电荷的作用来描述磁场，并由此引入磁感应强度B作为定量描述磁场中各点特性的基本物理量，其地位与电场中的电场强度E相当。
这个物理量之所以叫做磁感应强度，而没有叫做磁场强度，是由于历史上磁场强度一词已用来表示另外一个物理量了，区别：磁感应强度反映的是相互作用力，是两个参考点A与B之间的应力关系，而磁场强度是主体单方的量，不管B方有没有参与，这个量是不变的。点电荷q以速度v在磁场中运动时受到力f 的作用。在磁场给定的条件下，f的大小与电荷运动的方向有关 。当v沿某个特殊方向或与之反向时，受力为零；当v与这个特殊方向垂直时受力最大，为Fm。Fm与|q|及v成正比，比值与运动电荷无关，反映磁场本身的性质，定义为磁感应强度的大小，即。B的方向定义为：由正电荷所受最大力Fm的方向转向电荷运动方向v时 ，右手螺旋前进的方向 。定义了B之后，运动电荷在磁场 B 中所受的力可表为 F= QVB，此即洛伦兹力公式。
- 关系
2.磁化电流密度
磁化电流密度是指在物质中由于磁矩的取向而产生的等效电流密度。当一个物质被置于外部磁场中时，其中的磁矩会试图与外部磁场方向一致，这就会导致磁矩在物质内部产生一个环流。这个环流产生的效果可以等效为一种电流，这种电流密度即为磁化电流密度。磁化电流密度通常用符号表示。
磁化电流密度可以通过磁化强度的旋度来计算。在微观尺度上，磁化强度可以表示为磁矩密度的体积平均，即。其中是磁矩密度，是微元体积。
根据矢量分析的知识，磁化电流密度可以表示为磁化强度的旋度，即。这里(∇×)表示矢量的旋度运算符。
3.电流密度计算磁矢势
4.磁化强度的磁矢势计算
- 磁化强度的等效电流密度
- 根据《电动力学导论》:
变化时引起的电压
对于接收线圈，总的磁场强度变化为
其中源点处的磁化强度为：
其中表示处磁性纳米颗粒的浓度， 为真空磁导率， 为玻尔兹曼常数， 为绝对温度，表示单个磁性纳米颗粒的磁矩， 为粒子的饱和磁化强度，
表示复合磁场的单位向量.
下面我们仅考虑由磁化强度变化引起的线圈电压，为：
证明：
首先，我们有磁场 与磁矢势 之间的关系：
根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中的感应电动势 等于穿过回路的磁通量 随时间的变化率的负值：
磁通量 是磁场 与表面 的法向量 的点积的面积分：
我们需要将该式转化为对磁粒子分布空间的积分，而不是对线圈面积，将磁场 用磁矢势 表示，并应用斯托克斯定理，我们得到：
其中 是表面 的边界， 是边界上的微小线元素。
因此，感应电动势可以表示为：
现在，我们考虑磁矢势 与磁化强度 之间的关系。根据经典电磁学，一个体积元素内的磁化强度产生的磁矢势是：
其中 是体积元素， 是体积元素的位置， 是观察点的位置。
要得到整个空间 中的磁矢势 ，我们需要对所有体积元素求积分：
最后，我们将 的表达式代入感应电动势的公式中：
这里，我们有两个积分：一个是对空间 的体积积分，另一个是对闭合路径 的线积分。
我们需要交换积分顺序，将这个多重积分的最外层积分变为对粒子分布空间的积分，首先内积分是矢量的体积分，其结果仍为矢量（在x,y,z方向分别对体积微元积分，结果组合成新的矢量场），外积分为矢量的线积分。交换后内积分仍是矢量线积分，而外积分则变为标量体积分。就是从”先计算总磁矢势，再计算总磁矢势感生出的电压“，转变为”先计算每个源点感生出的电压，再对源点分布求积分“
利用标量三重积，给定三个向量 ，向量积和点积的关系是：
这个关系也被称为标量三重积。在我们的情况下，我们可以使用这个恒等式来重新排列和 的点积，得到：
于是，原来的积分表达式可以被重写为：
在这个表达式中， 是在积分路径 上的微小线元素与矢量 的叉积，这反映了磁矢势与路径元素的关系。这里，因为
计算过程为
- 被积函数沿线圈边界进行线积分，被积函数是磁化强度与积分路径的法向点乘并被源点到场点的距离二次衰减，得到源点r处粒子产生的电动势
- 在粒子分布空间积分，得到总电动势
进一步的，我们定义线圈灵敏度(不是标准的灵敏度定义)：
该式只与源点位置、线圈形状有关，与磁场、磁粒子特性无关。于是可以改写为：
其中方括号内为两个矢量的内积，仅与时间、源点位置有关，与浓度分布无关，如果将其化简为，
将上式进行离散化：
将两侧同时进行快速傅里叶变换(FFT)可得进而在频域展开并用矩阵形式描述为
由上式可知，若已知单位浓度下的系统矩阵,即可计算出每个编码点浓度：
由于正交矩阵变换不改变矩阵的条件数，所以求解变换后的方程组难度与变换前相同。
FFP系统矩阵标定
基于测量的系统矩阵构建方法如下:
(1)设计已知浓度和已知形状的样本。一般为正方体；
(2) 将 样本放置在位置 处，接收端获得对应感应电压信号,经傅里叶变换对应频率分量
(3) 移动 样本，接收端获得 FOV 内所有位置的感应电压信号 、频率分量
(4)以下考虑当样本尺寸不同时，对系统矩阵获
(1)当 样本尺寸采样网格体素尺寸, 系统矩阵可由以下一系列线性方程组获得
(2)当样本尺寸>采样网格体素尺寸,频率分量、系统函数可由反卷积表示
式中：表示卷积核。理论上，频率分量 和卷积核已知，采用反卷积的形式可得系统函数。然而，反卷积是一个不适定性问题，并且只有当核尺寸较小、测量过程中噪声较低时，反卷积效果才好。通常为获得高图像分辨率， 样本应尽可能小，而测量的信噪比、系统函数的信噪比与 样本的大小成正比。因此，设计 样本尺寸时，应同时考虑图像分辨率、信噪比两方面的因素，实际应用中通常 样本尺寸与采样网格体素尺寸相当。
FFL 系统矩阵
注意到在该式中，并未涉及到磁场分布的具体形式，成像系统的物理特性及测量过程会影响系统矩阵G的条件数，所以只要能保证G的条件数趋近于1即可
假设FFL成像角度为，则第个角度下的接收电压表示为：
记当前角的系统矩阵为，则总体系统矩阵为：
记当前角的测量电压傅里叶变换为，则一个扫描流程的电压FFT变换为：
则成像过程为：
此外，也可以直接将角度纳入测量过程，即对每个delta样本进行完整的平移+旋转测量，然后获得系统矩阵，理论上是等价的，考虑到测量过程中重复平移扫描较快，而旋转较慢，所以采用逐角度标注法
- Author:Lfy
- URL:https://lfymay23ustc.xyz/article/10da89ac-4c2b-80ee-a288-d43f5af35e64
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