type
status
date
slug
summary
tags
category
icon
password
通过分析获得系统矩阵的李普希兹常数粗略上界
实际上，可以通过分析获得系统矩阵的李普希兹常数，首先以x方向接收线圈为例，假设接收线圈灵敏度是空间均匀的，写出标定位置为时的标定数据：
其中为处标定信号的频谱向量，为采样点数， 为傅里叶变换矩阵(归一化系数为)，为空间坐标, 为时间、位置无关但与频率有关的增益项, 为时间、位置相关信号的离散化向量, 其中：
接下来，我们使用选择向量(第k个元素为1，其余为0)来表示处标定数据的第个频谱分量，
,考虑下式:
其中代表对连续函数取离散值，因为是酉矩阵，不改变矩阵范数，且是离散后对时间求差分，等价于乘以频移对角矩阵，根据向量积的柯西不等式：
此前已经证明是连续函数，因此可以对应用拉格朗日中值定理：对于任意两点，存在某个点 使得：
根据矩阵求导链式法则将偏导数展开：
其中为空间磁场对空间位置的雅可比矩阵，具体如下：
假设三个方向选择场梯度相同，均为，则，因此：
计算:
代入粒子磁化响应模型得到：
可以证明，当 时，达到最大值：
因此：
对尺度归一化：
其中利用到了对角矩阵性质： ，以及复数模乘积性质
注意量纲，的单位为，因此在离散网格中计算需要乘以成像分辨率。综上，可以得到尺度归一化的李普希兹常数,以1mm成像分辨率为例：
代入20nm铁氧体纳米粒子的粒子特性以及1T/m的梯度场，可以求得：
但是需要注意，该上界较为粗浅，准确性会随频率远离基频而下降，频率越靠近基频越接近这个上界，更精确的上界需要更复杂的傅里叶分析。
- Author:Lfy
- URL:https://lfymay23ustc.xyz/article/10da89ac-4c2b-8024-b4d1-f7cd5135e2f2
- Copyright:All articles in this blog, except for special statements, adopt BY-NC-SA agreement. Please indicate the source!
Relate Posts